中外科学家发明家丛书:李善兰-第3部分
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苏州后，李善兰留在苏州的行箧，包括各种著作手稿，散失以尽。从此他“绝
意时事”，避乱上海，埋头从事数学研究，重新著书立说。
徐有壬的代表作是《割圆八线缀术》4卷。自杜德美（1668—1720）将
π、sina、versa的展开式传入中国之后，许多数学家以不同方式进行了深
入的研究并获得了大量结果。其中有些结果彼此相同，从八线互求的角度来
看杜德美弧求弦矢之后，明安图 （1692？—1763？）首先给出弦矢求弧式，
项名达首先给出弦求割矢式，李善兰首先给出弧求割线及其反求式。即：
第一：已知 a，求 seca
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第二：已知seca求a
在此基础上，徐有壬给出其余9式。
李善兰在上海期间，与数学家吴嘉善、刘彝程等人都有过学术上的交往。
1861年秋，洋务派首领、两江总督曾国藩（1811—1872）在安徽筹建安
庆军械所，并邀著名化学家徐寿、数学家华衡芳入幕。李善兰也于1862年被
聘为幕僚，并兼管书局的工作。他一到安庆，就拿出印行了没有多少册而在
战火中毁版的《几何原本》等数学书籍请求曾国藩重印刊行，并推荐张文虎
等人入幕。他们同住一处，经常进行学术讨论，积极参与洋务新政中有关科
学技术方面的活动。
1864年7月 19日，曾国藩攻陷太平天国首都天京（今南京），李善兰
等也跟着到了南京。他再次向曾国藩提出刻印他所译所著的数学书籍，得到
曾国藩的支持和资助，于是有金陵刊本《几何原本》 15卷和1867年金陵刊
本 《则古昔斋算学》24卷问世。
1867年刊行的《则古昔斋算学》收录李善兰20多年来的各种天算著作，
计有：
《方圆阐幽》1卷（1845）
《弧矢启秘》2卷（1845）
《对数探源》2卷（1845）
《垛积比类》4卷
《四元解》4卷（1845）
《麟德术解》 3卷（1848）
《椭圆正术解》2卷
《椭圆新术》1卷
《椭圆拾遗》3卷
《火器真诀》1卷（1858年）
《对数尖锥变法释》1卷
《级数回求》1卷
《天算式问》1卷。
其中，《垛积比类》一书，是李善兰的另一杰出数学成就——垛积术。
在中国数学史上，北宋沈括 （1031—1095）首创隙积术开垛积研究之先
河。
隙积术是一种求解垛积问题的方法，属于高阶等差级数求和的问题。沈
括具体涉及到的有累棋、层坛和积罂等问题，他得出了正确的求解公式：
垛积体数目式体积
h h
V隙 = b ＇ （2b＋d） a＋ （2d＋b ）c＇ ＋ b （c … a）
其中a和c分别为垛积体上、下宽度，b和d分别为垛积体上、下长度，h
为垛积体的高度。
元朱世杰《算学启蒙》（1299）、《四元玉鉴》（1303）中的垛积问题，
分“落一”、“岚峰”两大类，其垛积公式分别为
n r
… Page 13…
n r
… Page 14…
和
n m
… Page 15…
这是他的第三项重要数学成就，是中国素数论上最早的一篇论文。所谓数根，
就是素数。考数根法，就是判断一个自然数是否为素数的方法。
李善兰说：
“任取一数，欲辨是数根否，古无法焉，”他“精思既久，待考之法四”，
即：
第一：屡乘求一法，
第二：天元求一法，
第三：小数回环法，
第四：准根分级法，
d
用以对已给的数N，找出最小的指数d，使a…1能被N整除，这里a是
与N互素的任何自然数。
李善兰证明了著名的费马素数定理（1640），并且指出它的逆定理不真。
d
亦即，若a…1能被 N整除，而 N是素数，则N…1能被d整除；但d能除尽
N…1，未必N一定是素数。
李善兰还进一步指出，若N非素数而d也能整除N…1，则N的因整必具
K＋1的形式，内p为能除尽d的数，k为自然数。只有任何具有k＋1形式
p p
的数都又能除尽N时，N才肯定是素数。
八、其它数学著作
李善兰在他所著的《椭圆正术解》中解释了徐有壬《椭圆正术》中行星
椭圆轨道运行问题的比例算法和对数算法。
李善兰还在《椭圆新术》中首次在我国用无穷级数法求解开普勒方程。
李善兰的《火器真诀》则提出别具一格的图解法，以量代算，是我国第
一部精密科学意义上的弹道学著作。
∞
《级数回求》是通过几个特殊的幂级数y =
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（1727—1804）研究中国古代历法的《三统术衍》和介绍哥白尼学说的《地
球图说》等。
阮元主编，李锐、周治平参与编纂的《畴人传》，是一部著名的述评天
文、数学家活动的传记集。全书46卷，269篇，列叙中国上起三皇五帝时代，
下迄嘉庆初年去世的天文历法家、数学家275人，西洋天文学家、数学家和
来华传教士41人。传记一般是在姓名、字号，籍贯、科举出身和主要官职之
后以主要篇幅介绍传主有关天文学、数学的“议论行事”。有天文、数学著
作的，不论存佚，都列出名目，并录其序言，凡例，记其摘要。书中搜集整
理了丰富的天文数学史料。各篇传记之后，多有阮元撰写的“论”，对人物
的思想和工作进行评论，或对学术的源流沿革进行分析。
阮元在《畴人传》中有其进步意义的一面，但是又在书中宣扬“西学东
源说”，表现出狭隘性和历史的局限。他在书中介绍哥白尼学说后，还做有
贬低性的评论。
李善兰在《谈天》序中，大力表彰哥白尼、开普勒、牛顿等人不断探索
真理，“苟求其故”的科学态度，勇于批判阮元对哥白尼学说的攻击和钱大
昕对开普勒定律的实用主义观点，说阮元、钱大昕“未尝精心考察，而拘牵
经义，妄生议论，甚无谓也。”
李善兰在《星命论》中，揭露“术士专以五行之生克判人一生之休咎”
的荒诞无稽，他的议论非常透彻，发人深省。
十、小学略通术数，大隐不在山林
1874年，李善兰升为户部主事，加六品卿员外衔。
1876年升员外郎（五品卿衔），但他依然孜孜不倦地从事同文馆教学工
作，并埋头进行学术著述。
1877年演算《代数难题》。
1879年，李善兰又加四品卿衔。
1882年授三品卿衔户部正郎、广东司行走，总理各国事务衙门章京。一
时间，京师各“名公巨卿，皆折节与之交，声誉益噪”，但他“犹手著《级
数勾股》二卷，老而勤学如此。”
李善兰生性落拓，跌宕不羁，潜心科学，淡于利禄。曾国藩等赏识他，
“屡欲列之荐牍，皆力辞。”
晚年他虽官居内阁高位，但从来没有离开过同文馆教学岗位，也没有中
断过科学研究工作。他自署对联“小学略通术数，大隐不在山林”张贴门上，
表明他仍然以在野的隐士自居，而不与贪官污吏者同流合污。
十一、李善兰与华蘅芳
1882年12月9日，李善兰卒于北京，享年72岁。
李善兰早年在家乡娶妻许氏，无子；晚年在北京纳妾米氏，仍未得子；
乃过继外甥崔敬昌为嗣。敬昌字吟梅，曾任江海关文牍。
李善兰的一生以1852年为界，1852年以前，李善兰创立了尖锥术，在
他的尖锥术的基础上，解析几何思想和微积分方法的萌芽，是可以生根、长
叶、开花、结果的。从这个意义上说，中国数学也可能以自己特殊的方式走
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上近代数学的道路。但是，1852年，李善兰便接触到了大量从西方传进来的
近代数学，并参与了把解析几何和微积分学介绍进中国的翻译工作。从此，
中国传统数学逐渐汇入世界数学发展的洪流中。
在清末数学界，李善兰与华蘅芳 （1833—1902）的关系是脍炙人口的。
华蘅芳，字若汀，生在无锡南延乡荡口的一个小官僚家庭。
无锡是江南的富庶之区，地灵人杰，富有文化传统。华蘅芳14岁那年，
受同乡徐寿的影响，立志探求新的知识。一次，他从徐寿那里借到一本明代
算学家程大位 （1533—1606）的著作《算法综宗》，爱不释手，朝夕研读，
书中所列难题，硬是被他一个个地攻破了。这次学习，使他尝到了学习算学
的一些甜头，竟由此对算学产生了浓厚的兴趣，简直到了入迷的程度。他一
钻进书房，便整天不出门，还经常到书坊去搜求数学书籍。华蘅芳青少年时
代对数学有了相当多的了解，无师自通，通过自学，对上自秦汉下至明清时
期的中国古代大量算学著作进行了比较全面、系统的学习和钻研，从中汲取
了丰富的营养，为攀登数学科学的高峰打下了坚实的基础。
一次，华蘅芳得知上海有个名叫李善兰的数学家，正同外国天文数学家
伟烈亚力合作，一起翻译一部叫 《代微积拾级》的数学著作，便千里迢迢，
来到上海登门求教。
华蘅芳的诚恳、坦率和好学，使李善兰很受感动。李善兰不仅认真回答
了他所提出的一连串问题，而且还主动向他介绍了当今世界数学研究的情
况，使华蘅芳眼界大开。最后，李善兰慷慨地将自己已经译出的《代微积拾
级》手稿借给了他，让他抄写，供他研习。
华蘅芳如获至宝，回家乡后便足不出户地攻读。由于当时国外的数学水
平远高于我国，所以华蘅芳遇到了许多困难。一年过去了，还是弄不明白。
这可真把他难住了。他鼓起勇气，二赴上海向李善兰再次请教，李善兰不厌
其烦，耐心地向华蘅芳进行讲解，鼓励他要“反复钻研，持之以恒”。
上海之行，鼓起了华蘅芳继续钻研的风帆。经过认真努力的钻研，终于
找到了学习的秘诀：不求之过急，一步一个脚印地向前探索。这样一来，局
面逐步打开了，不到一年，他便领会了《代微积拾级》的精神实质。
华蘅芳的数学成就主要有开方术、积较术和数根术三个方面�
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