世界古代中期科技史-第24部分
按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页，按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页，按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部！
————未阅读完？加入书签已便下次继续阅读！
素：①在几何中，求正方形对角线与边的公共度量；②在算术中，某一
… Page 72…
2 2
数的平方为另一数平方的2倍，即X＝2a，求X，则X＝ 2 a；③在音
乐理论中，将八度音对半地分开时，归结为求1和2之间的几何平均数。
毕达哥拉斯可能主要是由于发现等腰直角三角形斜边与一直角边之比或
正方形对角线与其一边之比，不能用整数表达而发现不可公度问题的。
因为，“直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方之和”，在西方
就称为毕达哥拉斯定理。关于这个定理，中国人、巴比伦人、埃及人和
印度人早已知道这个定理的部分情况。而一般认为是古希腊人予以证明
了的，是毕达哥拉斯学派用比例和相似三角形的理论证明的。传说，毕
达哥拉斯在证明出这个定理以后，心情特别激动，宰了一百头牲畜来祭
缪斯女神 （神话中掌管文艺、科学的女神），进行庆祝。然而，不可公
度问题使毕达哥拉斯学派感到十分震惊。明明是一个固定的量，却不能
用整数或整数之比来表示。这使他们企图用数来表示宇宙万物的想法受
到了挫折。传说，毕达哥拉斯学派不仅对这个发现严格保密，而且揭露
了不可公度事实的那个毕达哥拉斯学派的门徒，竟然在一次航海中被其
他门徒扔进了大海。这个传说反映了，不可公度量在毕达哥拉斯学派内
部引起了极大的思想混乱与恐慌。 2 是一个实际存在的量，它虽然不能
用整数或分数来表达，却可以用几何方法做出来，两个直角边为1的直
角三角形的斜边的长度就是 2 。这样一个情况，使毕达哥拉斯学派在数
量研究的方向上发生了很大的转折。从此，毕达哥拉斯学派回避用算术
和代数方法来解决实际问题，而是尽可能地用几何方法来解决实际问
题。
在几何学方面，毕达哥拉斯学派还发现平面可以用等边三角形、正
方形和正六边形填满，空间可以用立方体来填满；三角形内角之和等于
180°等。他们曾用正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体来表示
火、土、气、水这四大元素；后来又发现了正十二面体，于是用来表示
宇宙全体。据说，有关三角形、平行线、多边形、圆、球和正多面体方
面的一些定理，也是毕达哥拉斯学派发现和证明的。但是，目前还没有
找到这方面的原始资料。
（3）芝诺悖论与极限思想
芝诺（约公元前496～前430）是古希腊爱利亚学派奠基人巴门尼德
的学生，是爱利亚学派的主要活动人物。在哲学史上，芝诺提出的关于
运动的4个悖论是占有重要地位的。芝诺悖论的提出，是为了论证运动
的不存在。但是，这4个悖论中却也蕴含着丰富的数学思想。
根据亚里士多德的记载，这4个悖论是：
①二分法。一个运动的物体在到达目的地之前必须先到全路程的一
半。进一步分析，要走完全路程的一半，则必须先到这一半的一半，即
1
全路程的1/ 4；依此类推，要先走过1/ 8、1/ 16、…… 。这样
n
分下去，是无穷无尽的。芝诺的结论是物体不可能在有限的时间里走完
无限个一半而到达终点，他是以此否认运动的。
②阿喀琉斯。阿喀琉斯是全希腊跑得最快的人，但芝诺却说阿喀琉
斯迫不上乌龟。虽然，阿喀琉斯跑得快，乌龟跑得慢，但是乌龟在前面，
阿喀琉斯在赶上乌龟之前，必须先到达乌龟的出发点，可这时乌龟又爬
… Page 73…
过了一段路程。以此类推，乌龟总可以在阿喀琉斯前面一段。芝诺论证
了最快的不可能赶上最慢的，以此来否认运动。
③飞矢不动。时间是瞬间的总和，而飞矢在每个瞬间都静止在一个
位置上。因此飞矢不动。芝诺以飞矢不动这一矛盾的说法，来否认运动
的存在。
④运动场。芝诺用运动场上两排数目相同、大小相等的物体，各以
相同速度按相反方向相互通过来论证这样一个结论：一段时间和它的一
半相等。如图6。7，先是A、B、C首尾对齐，经过t时间后，B向左移动
一位，而C向有移动一位，这都是相对于A所言。拿C和B比，C移动了
两位，要使C移动一位，只要t的一半时间就够了
图6。7运动场C
①
按照梁宗巨先生的观点 ，芝诺进一步则可导出极限的思想。可惜的
是，芝诺悖论中的数学思想因其哲学观点的错误而未能得到发展。不过，
芝诺悖论产生的影响仍是深远的，哲学家、逻辑学家和数学家都从各自
的学科出发去进行分析。因此，芝诺悖论对这些学科的发展起了促进作
用。在当时，则至少可以说，芝诺悖论是把连续与离散的关系问题突出
出来了。
（4）雅典智者学派与三大作图难题
雅典的智者学派，也称为诡辩学派。在雅典成为希腊各城邦的经济
中心和文化中心以后，不同学派、不同地域的学者，被吸引到雅典来了，
智者学派里就包括有多方面的学者。他们数学研究的中心问题是所谓“三
大问题”：做一立方体，使其体积等于给定立方体体积的二倍；三等分
任意角；做一正方形，使其面积等于给定圆的面积。这“三大问题”，
由于不能用直尺和圆规做出，也被称为“几何三大难题”。
第一个难题简称为“倍立方”问题。关于这一难题研究的起因曾有
一个传说：第罗斯地方发生了瘟疫，人们求教于巫神，巫神回答说，应
当把现有的立方体祭坛加倍。人们试图通过把立方体的棱长加倍来得到
新的祭坛，但没有成功。据说，还曾请教过柏拉图，柏拉图则告诉人们，
巫神本意并不在于要加倍的祭坛，而只是借此教训人们不重视数学、对
①
几何不够尊崇 。联想到柏拉图学园入口处挂着“非几何学家不得入内”
的牌子，似乎不是巫神而是柏拉图在教训人们。当时希腊人已经知道以
正方形的对角线为边作正方形，这个正方形的面积是原正方形面积的两
倍。怎样得到两倍于原立方体体积的新立方体，自然会成为人们很想知
道的问题。显然，
3
如果原立方体的棱长为a，那么新立方体的棱长应为 2a，这样
新立方体的体积才是原立方体体积的两倍。但是，在只限于用没有刻度
的直尺和圆规的情况下，是没有办法作出这一立方体的，这是名符其实
的一个难题。
第二个难题的产生与第一个难题有类似的情况，当时人们已能对任
意角二等分，自然要进一步想知道怎样才能三等分任意角。对此，智者
① 参阅梁宗巨《世界数学史简编》，第105 页。
① 参阅克莱因《古今数学思想》第一册，上海科学技术出版社1979 年版。
… Page 74…
学派的主要代表人物喜庇亚斯创设了一种“割圆曲线”，试图解决三等
分任意角问题。他的思路大致如下：在矩形ABCD中， BC边匀速地平行
下降与AD边重合；同时， AB边匀速地绕A沿顺时针方向旋转，与AD
边重合。如图6。8那么，下降的BC边与旋转的AB边交点的轨迹就是割
圆曲线。这条曲线上每一个点的纵坐标与相应的夹角成正比，
y
… Page 75…
学的严谨性，在他的学园教学中坚持准确的定义和演绎的证明。毕达哥
拉斯学派对点的定义是：点是有位置的单位，柏拉图认为毕达哥拉斯学
派对点的定义不够明确，而另立定义：点是直线的开端。柏拉图关心推
理过程的方法论，有两类推理方法被认为是他的学派的贡献。第一类是
分析方法，用这种方法时，先假定要证明的结果是对的，然后由此推出
一些结论，直至推出已知的真理或与已知真理相矛盾的结论。如果由待
证命题推出已知真理，那么只要把推理的步骤倒过来，就可以做出证明；
如果由待证命题推出与已知真理相矛盾的结果，就证明待证命题是错
的。第二类是归谬法，用这种方法时，也是先假定要证明的结果是对的，
只不过由此能够得出与要证明的结果相矛盾的结论，这就证明待证结果
是谬误的。柏拉图认为数学采用分析推理方法是十分自然的事，他说：
“研究几何和算术之类学问的人，首先要在这一学科里认定奇数和偶
数、各类图形、三类角以及诸如此类的东西，把它们当成大家都承认的
公设，认为不必再为自己和别人作出什么说明，谁都明白。然后他们由
①
此出发，通过一系列的逻辑推论，最后达到他们所要证明的结论。”至
少可以说，柏拉图学派使数学，特别是几何学具有了明确的思维方式。
从这个意义上说，柏拉图学派为古希腊最负盛名的欧几里德几何学奠定
了基础。
柏拉图学派的欧多克斯是成果颇丰的数学家，他的一个重要贡献是
建立一个纯粹几何性的比例理论。欧多克斯引入“量”的概念，用来表
示可以连续变化的线段、角、面积、体积等。量与数是不同的，数是跳
跃的，如从1到2到3等等；而量则是连续变化的，欧多克斯引入的量
是不指定数值的。然后，他定义了两个量的比，相等的比彼此是成比例
关系的，这样，就把可公度比与不可公度比都包括在内了。欧多克斯对
线段的长度、角的大小以及其它的量和量之比，都不给出数值，就是为
了避免出现无理数 （不可公度比）。这对几何学的发展起到了积极的推
动作用，例如泰勒斯提出的相似三角形的对应边成比例的命题，就是在
欧多克斯的比例理论建立以后才被证明的。但是，欧多克斯的比例理论
实际上是硬性将数与几何分开，虽然是通过建立比例理论使几何学能够
处理不可公度问题了，却避开了代数和无理数，从而造成希腊人在运算
能力上
