科普-中华学生百科全书-第533部分
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那么，怎么让他们植树的长度一样呢？有人说：“把矩形的周长平均一
下，一人一半。”也有人说：“还不如把地重新分过，还是那么大面积，换
成正方形就行了。”
请你公正裁判一下，到底哪种办法更合理？而且对甲、乙两人都有好处？
解答：这里先给大家介绍一下两种平均值的概念：算术平均值和几何平
均值。假如有a、b两数，它们的算术平均值是a ＋ b ，它们的几何平均值是 ab，
2
而且可以证明算术平均值总是大于或等于它的几何平均值。证明如下：
a＋ b 1
ab = （a ＋ b 2 ab）
2 2
= （ a b）2
1
2
因为任何数的平方大于等于零
a＋ b ab = （ a b）2 ≥0
1
∴
2 2
a ＋ b
≥ ab
2
对于本题来讲，第一种办法就是用算术平均值，周长为 2（a＋b），一人一半
为 a＋b，也就是在矩形四周找两个分界点，使大家都占 a＋b 的长度。
第二种办法是几何平均值，在保证土地面积不变的条件下，改变矩形的
边长，成为正方形，这时正方形边长为 ab。
由上述证明可知：a ＋b≥ ab，所以第二种平均办法对甲、乙都有利。
一家人的年龄
小康的一家 3 口人，女儿、妈妈和爸爸的年龄分别能被 3、4、5 整除；
而明年，他们的年龄又分别能被 4、5、6 整除，13 年以后，女儿上了高中，
全家的年龄之和也闯过了 100 大关。问今年小康一家人的年龄各是多少？
解答：设女儿年龄为 x，妈妈年龄为 y，爸爸年龄为 z。
x＝3a，y＝4b，z＝5c（a、b、c 为大于 0 的正整数）
并且明年又分别被 4、5、6 所整除，故：
3a＋1＝4a＇，4b＋1＝5b＇，5c＋1＝6c＇（a＇、b＇、c＇为大于 0 的正整数）
可以得到一组相应的关系：
3a＋1＝4a ＇ 4b＋1＝5b ＇ 5c＋1＝6c ＇
a＝1 a ＇＝1 b＝1 b ＇＝1 c＝1 c ＇＝1
a＝5 a ＇＝4 b＝6 b ＇＝5 c＝7 c ＇＝6
a＝9 a ＇＝7 b＝11 b ＇＝9 c＝13 c ＇＝11
a＝13 a ＇＝10 b＝16 b ＇＝13 c＝19 c ＇＝16
这时，女儿、妈妈、爸爸的年龄可以由
x＝3a，y＝4b，z＝5c 来决定。有以下组合：
x y z
3 4 5
15 24 35
27 44 65
39 64
51
由于女儿年龄尚小，13 年以后正读高中，故取 x＝3，而 13 年后三人年龄
闯过 100 大关，目前其年龄之和大约在 100…3×13＝61 左右，故应取 y＝24，
z＝35。
最后正确答案是：女儿 3 岁，妈妈 24 岁，爸爸 35 岁。
丢番都的年龄
丢番都是一个数学家，他生活在公元 3 世纪的古希腊。在他的墓碑上有
着一个谜语方程，它的谜底就是数学家的寿命。墓碑是这样写的：
“在这里长眠的是丢番都，他生命的 1／6 是童年，再过了生命的 1／12，
他成为青年，并结了婚，这样度过了一生的 1／7，再过 5 年，他有一个儿子，
但儿子只活了他寿命的一半，以后，他在数学中寻求安慰，度过了 4 年，终
于也结束了他的一生。”
请你算一算，丢番都活了多少岁？
解答：设他活了 x 岁
列方程：
1x 1 1 1
＋ ＋ x ＋ 5＋ ＋ 4 = x
6 12x 7 2
14x＋7x＋12x ＋42x ＋ 9 = x
84
75＋756 =84x
9x = 756
x = 84
丢番都活了 84 岁。
庞贝古城
庞贝是意大利的古城，它位于维苏威火山东南麓。它全盛时期到火山爆
发把它湮没，正好是横跨公元前后相同的年数。原来人们都不知道有这么一
个古城，在挖掘的那年，才发现庞贝已被火山爆发湮没了 1669 年，而挖掘的
工作一直延续了212年，到挖掘结束后，证实庞贝城最繁华的时期已相距2039
年。请问：庞贝城全盛时是哪年？火山爆发把它湮没又是哪年？挖掘工作又
是从哪年到哪年？
解答：设庞贝城全盛时为公元前 x 年，由于它横跨公元前后，火山爆发
把它湮没在公元后 x 年。
设挖掘工作从公元 y 年到 z 年，则
y…x =1669 ①
z＋ x = 2039 ②
z…y = 212 ③
由①＋②，得
y＋z＝3708 ④
由③、④联立，得 z＝1960
由此，y＝1748
x＝79
所以，庞贝城全盛时为公元前 79 年，火山爆发把它湮没在公元后 79 年，
挖掘工作从公元 1748 年一直延续到 1960 年。
转让摩托车
甲花了 8000 元买了一辆摩托车，两年后，他转让给乙，要乙交付 9000
元。乙很不满意：“都用了两年了，还长了 1000 元，真不应该。”甲道出了
苦衷：“其实，我还亏了本了呢！你想，我要交税牌的钱，两年来还要修车，
花了不少钱呢！告诉你吧！我亏的本正好是 1／6 的卖价加上 1／3 的交税和修
车费。”你想想，甲亏卖了多少钱？
解答：设交税和修车一共用 x 元
9000 x
＋ = （8000 ＋ x） 9000
6 3
x
1500＋ = x1000
3
2
3x = 2500
x = 3750
实际上，甲交税和修车花了 3750 元，亏卖的钱数为：
（8000＋3750）…9000＝2750
甲亏卖了 2750 元。
蛋铺的生意
有一家小蛋铺，主要出售鸡蛋、鸭蛋和鹅蛋。鸡蛋 1 元 5 角一打，鸭蛋
1 元 8 角一打，鹅蛋 2 元 6 角一打（注：一打蛋是 12 个）。有一位顾客，身
边只带了 1 元 1 角，他能买几种蛋、几个蛋？
解答：假设可买鸡蛋 x 个，鸭蛋 y 个，鹅蛋 z 个。
有方程：1。50 x＋ 1。80y 2。60z
＋ = 1。10 ①
12 12 12
化简得：15x＋18y＋26z＝132 ②
∵132＝3×44＝4×33
∴②的解有两种形式：
（1）x＝0 y＝z＝3
（2）z＝0 x＝y＝4
由此，1 元 1 角可以买 3 个鸭蛋和 3 个鹅蛋，或者买 4 个鸡蛋和 4 个鸭
蛋。
四通八达
这里要传授给你一个秘决，只要你领会了，今后你遇到这一类问题，你
会感到四通八达、迎刃而解了。
假如你遇到这样一个问题：求 3 个整数 a、b、c，使其满足 a3＋b3＝c4，
这时，你该怎么办？
最好的办法是，等式两边同除以 c3，于是
c a 3 ＋ = c
b 3
c
a b
令A = ，B = ，则
c c
c＝A3＋B3
你可以任意设 A 和 B 两个整数，从而求得 c，进而知 a、b，问题解决了。
举例：设 A＝2，B＝3，得
c＝A3＋B3＝23＋33＝35
∵a＝cA＝70，b＝cB＝105
∴703＋1053＝354
这类问题可以推广到：
（1）a3＋b3＋c3＝R4
a3＋b3＋c3＋d3＝R4，等等。
（2）a2＋b2＝c3 a4＋b4＝c5 a5＋b5＝c6，等等
为了使你熟练这种办法，请你举一个例子能满足 a2＋b2＋c2＝d3。
解答：将等式变为d ＋ a ＋ d = d
a 2 b 2 c 2
a b c
令A = ，B = ，C =
d d d
且 A＝1，B＝2，C＝3
d＝A2＋B2＋C2＝12＋22＋32＝14
由此，a＝14，b＝28，c＝42，
∴142＋282＋422＝143
各自为政
在现代工业中要求产品标准化，因为过去各自为政的局面会带来许多麻
烦。可以举一个实例：有甲、乙、丙、丁、戊 5 个工厂生产的电线规格都不
一样，即每一盘电线的长度都不相／同。现在要从变电站 A 往居民小区 B 拉两
根供电干线。若用甲厂的产品 2 盘不够，还得搭上 1 盘乙厂的；若用乙厂的
3 盘也不够，还得搭上 1 盘丙厂的；若用丙厂的 4 盘也不够，还得搭上 1 盘
丁厂的；若用丁厂的 5 盘还不够，还得搭上 1 盘戊厂的；若用戊厂的 6 盘也
是不够，还得搭上 1 盘甲厂的。你看，不按统一的标准，有多噜嗦。请你只
好耐心一点计算一下各家工厂每盘电线的长度，以及 A、B 两地的距离是多
少？（已知每盘电线都是以整数来盘绕的，A、B 两地干线的总长度也正好是
个整数米，求最小的一组解。）
解答：设甲、乙、丙、丁、戊各厂生产的电线每盘长 x、y、z、u、v 米，
A、B 两地所用干线的总长度为 w 米。
根据题意，列出方程组：
2x＋y＝w ①
3y＋z＝w ②
4z＋u＝w ③
5u＋v＝w ④
6v＋x＝w ⑤
这是一个不定方程组，即 5 个方程，要求 6 个未知数。
由 3×①…②，得：6x…z＝2w ⑥
由 4×⑥＋③，得：24x＋u＝9w ⑦
由 5×⑦…④，得：120x…v＝44w ⑧
由 6×⑧＋⑤，得：721x＝265w
w 可以有许多解，但最小的一组解为：x＝265，w＝721。代入①、②、③、
④，可求得：
y＝191，z＝148，u＝129，v＝76
因此，甲、乙、丙、丁、戊各厂生产的电线规格，每盘电线分别是 265
米、191 米、148 米、129 米、76 米，A、B 两地所用的干线总长度为 721 米，
A、B 两地距离为 360．5 米。
马克思与数学
马克思是精通数学的，他在《数学手稿》中，曾提出解不定方程的例子：
有 30 个人，其中有男人、女人和小孩。他们在一家小饭馆里就餐共花费
了 50 先令；知道每个男人花 3 先令，每个女人花 2 先令，每个小孩只花 1
先令。问男人、女人和小孩各有多少？
你知道马克思是怎么算的吗？
解答：
设男人、女人、孩子分别有 x、y、z 人，列出方程：
x＋y＋z＝30 ①
3x＋2y＋z＝50 ②
由②式减①式，得
2x＋y＝20 ③
③式代入②，得
z…x＝10 ④
∵x≥0，由④式知：
z≥10 ⑤
由③式
y＝20…2x
x≤10
列表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
z 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
因此这 10 组解都满足本题的要求。显然是一个典型的不定方程。
趣味几何
意大利著名科学家伽利略曾经说过：“大自然用数学语言讲话，这个语
言的字母是：圆、三角形以及其他各种数学形体。”几何学研究的对象正是
圆、三角形及其他各种数学形体。
一个由 36 个小方格组成的正方形，如图所示，放着 4 个黑子和 4 个白子。
现在要把它分割成形状大小都相同的 4 块，并使每一块里都有一个黑子和一
个白子，应怎样分割？
分析：要将图形分成大小相同的四块，可先将图形一分为四，如图（A）
但这样左上角一块中就出现了两个白子，为此必须将它们割开。但问题
要求 4 块形状大小都要一样，因此只要一块割开，其他 3 块都要做同样的割
开，如图（B）。然�
