逻辑学 上卷作者_德黑格尔着杨一-第47部分
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而消除了。但是虽然以牛顿的鼎鼎大名，也必须说这样的运算，尽管是很初
极的，却仍旧不正确；说（ ）（ ） x （ ）（ ）
dx
y
dx
x
dx
y
dx
＋ ＋ … … …
2 2 2 2
＝（x＋dx）（y
＋dy）—xy，这是不正确的。只有为流量计算重要性找理由的这种需要，才
能够使一个像牛顿那样的人自己受到这种证明的欺骗。
牛顿用来推导微分的其他形式，是与原素及其方幂的具体的，和运动有
关的意义联系着的。使用系列形式也是他的方法的特征，在这里，其涵意是
税永远能够用增添更多的项来取得所需要的精密的大小，而省略掉的项则是
相对地无足轻重的，结果一般只是一种近似；在这里，好像他也不以这种理
由为满足，正如他在解高等方程时，用近似的方法，以较高方幂（这些方幂
是在替代已有方程中每一个找到了的但仍不精密的值之时所发生的）很微小
这样粗疏的理由而将它们省略掉那样：参看拉格朗日《数字方程》第125 页。
牛顿用省略重要的高级方幂来解决问题，他所犯的这个错误，使他的反
对者有机会用他们的方法战胜他的方法，拉格朗日在近著中（《解析函数论》，
第三部分，第四章），也指出了这种错误的真正根源；这种错误证明了在使
用那种工具时，还有徒具形式的和靠不住的东西。拉格朗日指出牛顿之所以
犯错误，是因为他所略去的系列的那一项，含有一定问题关键所在的方幂。
牛顿执着于各项因其相对微小而可以省略那种形式的，肤浅的原则。大家知
道在力学中，若一运动的函数在一个系列中展开，这个系列的各项便被给与
一定的意义，于是第一项，或第一个函数，是关于速度的瞬 刻，第二个函数
是关于加速力，第三个函数是关于诸力的阻力。于是系列各项在这里被认为
不仅是一个总和的部分，而且是概念的一个整体的质的环节。因此，省略其
余属于简单无限系列的各项，与以各项相对微小为理由的省略，是具有全然
不同的意义的。①牛顿的解决，错误不在于其系列各项只被当作是一个总和的
部分，而在于没有考虑到含有问题所在的质的规定的那一项。
① 拉格朗日在应用函数论于力学，即直线运动一章中，把这两种观点以简单的方式并列起来（《解析函数
论》，第三部分，第一章，第四节）。经过的空间被看作是流过的时间的函数，这就是x＝ft 方程式，后者
作为y（t＋θ）展开时，便有：？ 于是在这段时间所经过的空固，便以的公式来表示。于是借以通过空
间的运动，可以说是由于各个部分的运动综合而成的（这就是说因为解析的展开，给了多数的，并且诚然
是无限多的项），这些运动的与时间相应的各段空间，便是等？？。当运动已知时，第一部分运动在形
式上是匀速的，有一个由ft，规定的速度，第二个是匀加速的运动，它是由一个与ft，成比例的加速的力
而来的。“其余各项现在既然不与任何简单的、已知的运动有关，所以就不须特别考虑它们；我们并且将
指明对于规定运动时间的开始之点，它们是可以抽掉的。”这一点随后便有了说明，但当然只是用一切项
对于规定在一段时间经过的空间大小都属需要的那种系列，来和第三节表示落体运动的方程x＝at＋bt 之比
较，因为那里只有这样两项。由于解析展开而产生了各项，这个方程便有了说明，只是由于假定了这种说
明，这个方程才获得它的形态；这个假定是匀加速运动由一个形式上匀速的，以在先前时间部分所达到的
速度而继续的运动，和一个被付与重力的增长（它在s＝as2 中就是a，即经验的系数）综合而成，——这
一个区别在事物本性中并不存在，也无根据，而只是对着手解析处理时所得的东西，作了错误的物理的表
现。——黑格尔原注
在这个例子里，处理办法要依赖质的意义。这里也可以连带提出一般主
张，即：假如指出原则的质的意义并使运算附属于这种意义，——而不要形
式主义地只是庄为微分起名称的任务中才提出微分的规定，只是在一个函数
的变量得到增长之后才提出这个函数与它的变化的一般区别，——那么，原
则的全部困难便会消除。在这种意义之下，很明显，由展开（x＋dx）n 而发
生的系列，用它的第一项便可以完全穷尽xn 的微分。其余各项之不被考虑，
并不是由于它们的相对微小；——这里并不曾假定有不精密之处、缺点或错
误，被另一错误抵消了或改善了，——卡尔诺主要就是从这种观点来为无限
小的普通计算方法辩护的。既然所处理的不是一个总和，而是一个比率，那
么，这个微分便完全可以由第一项找到；假如需要更多的项，即便高级的微
分时，其规定也不包含作为总和的一个系列之继续，而包含人们唯一想要有
的同一比率之重复，而这个比率却在第一项中已经完备了。对一个系列及其
总和的形式上的需要，以及和它有关的东西，都必须与那种对比率的兴趣分
别开。
卡尔诺关于无限大小的方法的种种解释，最明显地揭示了它含有上面引
证的想法中的一切最为动听的东西。但是，在转到运算本身时，通常的关于
被省略之项相对于其他项说来是无限小的想法，多少又出现了。卡尔诺是用
下述事实来辩解他的方法的，那就是，计算结果是正确的，引进这种不完整
方程（他是这样称呼这些方程的——就是那些作了这种算术上不正确省略的
方程）对于简化计算具有便利：他并不是从事物自身的性质来辩解它的。
大家都知道拉格朗日为了跳出无限小观念以及最初、最后比率和极限的
方法所引起的困难，重又采用了牛顿原来的方法，即级数法。他的函数计算，
在精确、抽象、普遍等方面的优点都已经得到足够的承认，这里所要举出的，
只是这种计算依靠，一个基本命题，即差分虽不戊为零，却可以认为是如此
微小，以至系列的每一项，在大小方面，都超过了一切后继各项的总和。—
—这个方法也是从增长和西数盖分的范畴开始，函数的变量得到增长，于是
便从原来的函数得到使人厌烦的系列；而在后来，系列的被省略的各项，同
样也只是鉴于它们构成了一个总和，才被考虑，省略它们的理由也是建立在
它们的定量的相对性上。所以一方面这里的省略一般也并不是回到前面曾经
提过的、在某些应用中出现的那种观点，以为系列各项应当有确定的质的意
义，而被忽略的各项并不是因为它们在量上不重要，而是因为它们在质上不
重要；另一方面，这种省略本身在所谓微分系数那种很重要的观点中便消除
了，这是拉格朗日在所谓升算应用中才确定地加以强调的观点，我们在下一
注释里还要对此详细讨论。
这里所谈的那种被称为无限小的量的形式，共一般质的特性已经证明；
这种质的特性在上述比率极限的范畴中，可以最直接地找到，而且极限在针
算中的使用成了特殊方法的标记。拉格朗日对这个方法的判断是：它在应用
中并不简便，极限这一名词也没有明确的概念；在这里我们愿意接受判断的
第二点，并仔细看看，关于极限的解析的意义提出了什么。在极限观念里，
当然包含着变量的质的比率规定这一以前说过的真正范畴；因为这些变量所
采取的dx 和dy 的形式，应该直捷地只被看作是
dy
dx
的瞬刻，而
dx
dy
本身则应
该被认为是唯一而不可分的符号。就升算的运用说，尤其是就计算的应用说，
升算由于微分系数的两端分开而取得的好处，因此便失去了，这一点可只暂
时置之不理。那个极限现在应该是某一函数的极限，——它应该标出与此函
数有关的某一个值，这个值是依导数（Ab1eltung）的方式而规定的。但是，
用单纯的极限范畴，我们并不能比用这个注释中所涉及的东西前进更远；这
个注释要指出在微分计算中出现为dx 和dy 的无限小，不仅具有一个非有限
的、非已知的大小那种否定的、空洞的意义，如人们所说的一个无限的数量，
或无限进展之类，而是具有量的、一个比率环节本身的质的规定性那种明确
意义。但是这个范畴却对一个已知函数那样的东西，还没有比率，与这个函
数的处理和那种规定在函数中的使用都没有牵涉；所以极限观念若是停留在
为它所已经证明的规定性里，便什么也引导不出来。但是极限这一名词本身
已经包含着它是某物的界限这种意思，即是锐它表示了变量函数中所包含的
某一个值；这就必须看一看这种具有极限的具体情况是如何发生的。——极
限应该是两个增量互相具有的比率的极限；在一个方程式中，有关的两个变
量，被当作是互为函数，它们被认为是以这两个增量而增加：这里的增长被
认为是本来不确定的，所以也并没有使用无限小。但是，首先，这种寻找极
限的道路，也招致了和其他方法所包含的同样的前后不一贯。这条道路如下。
假如y＝fx，当y 变为y 十k 时，则fx 应变为fx＋ph＋qh2＋rh3？？等等，所
以k＝ph＋qh2＋？？等，而
k
h
＝p＋qh＝＋rh2？。假如现就是两种增长比率
的极限。可见h 作为定量是被当作＝0，但是
k
h
却不因此而是＝
0
0
，它还仍然
应该是一个比率。免去这里所包含的不连贯，应该是极限观念所获得的好处；
同时p 不是一个现实的比率，如
0
0
的比率，而仅仅是一定的值，比率可以无
限的接近它，以致其差别可以比任何已有的差别更小。下面将考察一下就彼
此应该真正接近的事物而论，接近有什么更确切的意义。一个量的差别，不
仅可以而且应该比任何已有的差别都更小，一个量的差别假如有了这种规
定，就不再是量的差别了，这一点本身是很明显的，共自明性和任何能够在
数学中是自明的东西一样；但是这样便没有超出
dy
dx
=
0
0
以外。另一方面，假
如：
dy
dx
= p ，即被认为是一定的量的比率，这个比率事实上也是如此，而以
h＝0 的假定（只有用它才找得出
k
h
=p），它却反倒陷于困境了。另外，假如
承认
k
h
＝0，——而有了h＝0，那么事实上自然也就有k＝0；因为增长为y，
只有在这个增长是h 的条件下才会出现，——于是要问p，这个完全确定的
量的值，究竟是什么。对此自然立刻有一个简单枯燥的回答，说它是一个系
数，由什么导数发生的，——即以一定方式由原始函数所导出的第一个函数。
假如对此可以满足，拉格朗日就实质而论，对此实际上也是满足的，那么，
微分计算科学的一般部分，紧接着那种称为极限理论的形式部分，免掉了增
长，然后又免掉了增长的无限小或任意的小，也免掉了这样的困难，即，除
首项而外，或不如说只是除首项的系数而外，要把因引入那些增长而不可避
免地出现的一系列的其他更多之项，重行销去，此外，也清除了与此相关的
其他东两，首先是无限、无限接近等形式的范畴，以及在这里是同样空洞的
连�
