逻辑学 上卷作者_德黑格尔着杨一-第50部分

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这种处理的兴趣所在是什么。这样的考察所能给予的，只是已知的结果，就
形式说，这些结果尤其是像拉格朗日所理解的那样；但是我为了剔除那里混
杂着的异质的规定，所以提出的说明，完全是很基本的。——上述种类的方
程式的处理的基础，显示出方幂在它自身之内被认为是一个比率，是一个比
率规定的系统。方幂在以上被表述为数，它之所以能够如此，是因为它的变
化是由它自身规定的，它的环节、即单位与数目，也是相同的，——如以前
所指出的，方幂在平方中也就很完全了，而在更高的方幂中，不过是更形式
的，在这里无关宏旨。现在方幂作为数（虽然人们较喜欢用“量”这一名词，
以其较为一般，但是方幂本身总之仍旧是数），既然是一个数量，也表现为
总和，那么，它在自身之内可以被除为任何数量的数，这些数除了一共等于
它们的总和而外，其彼此之间和对总和便都没有别的规定了。但是方幂也可
以被除为那些由方幂形式规定的差分的总和。假如方慕披当作总和，那么，
它的方根数，或说方根，也被当作总和，至于除它的倍数也是任意的，但是
这种倍数却是漠不相关的、经验的、量的东西。方根应当是总和；总和归到
它的单纯规定性，即它的真正普遍性时，就是二项式：一切更多的项的增加
都仅仅是这个同一规定的重复，因此也就是某种空虚的东西。①问题所在，只
是这里由被认为是总和的方根乘方而生的诸项之质的规定性，这种规定性完
全包含在乘方这一变化之中。于是这些项便完全是乘方和方幂的函数了。把
数表现为这样的诸项（它们就是乘方的函数）一定数量的总和，然后兴趣就
在于找出这些函数的形式，并随即从这些项的数量找出总和，因为要找出总
和唯一必须依靠西数的形式，——这就构成大家知道的特殊的系列论。但是
这里重要的是，把更有兴趣之点区别出来，即作为基础的大小本身（因为它
是一复合体，在这里就来，即是一个方程式，其规定性自身就包括了一个方
幂）与其乘方函数的比率。完全除去了前面所说的对总和的兴趣，这种比率
就将表现出它是真正科学所产生的唯一观点，微分计算便是把这种观点放在
最前列的。

①　假如对于方冪的展开，拿（a＋b＋c＋d＋？）n　来代替（a＋b）n，那也不过是解析所必须要求的普遍性
那种形式主义而已。别的许多地方也是这样做的，维持这样的形式，可以说仅仅是为了卖弄普遍性的假象，
事情其实在二项式便已经穷尽了，由二项式的展开，便找到了规律，而那个规律却是真正的普遍性，不是
规律的表面的、仅仅空洞的重复，这种重复完全是由那个a＋b＋C＋d＋…　所引起的。——黑格尔原注

但是对以上所说，还必须先加上一种规定，或者不如说必须除去其中所
包含的一个规定。我们曾经说过，变量（方幂就在它的规定之中）在它自身
以内被认为是一个总和，而且是各项的系统，由于各项是乘方的函数，所以
方根也当然被认为是一个总和，其形式被简单地规定为一个二项式：
xn=（y＋z）n=（y＋nyn…1z＋？？）。
这种表达，对于方幂的展开，即对于达到方幂的乘方函数，是从总和本身出
发的；但这里问题所在，既不是总和本身，也不是由总和所产生的系列，那
必须从总和取来的东西，只是关系。大小的关系本身，一方面是在抽去一总
和本身加多（p1us）之后所剩余的东西。但是这样的关系之已经被规定，就
在于这里的对象是ym=axn　方程式，已经是较多的（变）量的复合体，它包含
了这些量的方幂规定。在这个复合体中，每一个量都直截被被作是与另一个
量有关系，其意义可以说是对它自身的加多，——被当作是另一量的函数；
它俩互为函数的特点，给了它们加乡这一规定，正因此，这个加多是完全不

确定的，而不是增长、增量以及诸如此类的东西。但是我们也可以把这种抽
象观点放在一边；事情可以完全简单地停留在这样的一点，即已知在方程式
中互为西数的变量，以致这种规定性包含了方幂的比率，在这之后，每一个
乘方的诸函数也就可以互相比较——这第二类的西数，除了由乘方本身规定
而外，并无其他规定。把一个方程式从它的变量的方幂移到它的展开函数的
比率，起初可以就是随意的，或是可能的；这种转变的用处必须在以后的目
的、益处、使用中显示出来；所以要作这种改移，只是由于它的有用。假如
上面是从表达一个量（它作为总和，在自身中是被认为有不同的部分的）的
这种方幂规定出发，那么，这种用处便只是一部分为了指出这些函数是什么
种类，一部分在于求出这些函数的方式。

这样，我们便到了普通解析的展开，它为了微分计算之故，将被理解为
这样，即变量有了dx　或i　的增长，而现在二项式的方幂也由属于二项式的各
项系列而表现出来。但所谓增长不应是一定量，只是一形式，它的全部价值
就在于帮助展开；人们对以前提到的极限观念所愿意承认（而以尤拉和拉格
朗日最为坚决）的东西，只是由变量产生的方幂规定，即增长及增长的方幂
的所谓系数，系列依照这些方幂规定而安排自身，不同的系数也属于这些规
定。这里还可以说只是为了展开的缘故，才假定有一增长，它不是定量，所
以对此用1（一），是最合宜的，因为这种增长在展开中永远只出现为因数，
正是一这个因数完成了虽有增长而无量的规定性和变化这一目的：另一方
面，带着量的差分这种错误观念的dx，以及带着在此处无用的普通性假象的
其他符号，如i，总是有定量及定量方幂的外貌和假托；尔后这种假托又惹
起必须将它取消和省去的麻烦。为了维持一个依方幂而展开的系列形式，指
数的符号作为指标（indices）同样也可风加在一的后面。但是无论如何，必
须抽掉系列和按系数在系列中地位而有的系数规定；这一切之间的比率都是
同一的；第二函数之从第一函数导引出来，也正如第一面数从原始函数导引
出来那样，假如一个函数被算作第二函数，那么第一函数，虽然也是导引出
来的，而对于第二函数说来也就又被算作原始函数了。重要之点是兴趣不在
于系列，而唯一在于从展开所发生的方幂规定，这种规定与对方幂是直接的
量有比率。所以这些方幂并不被规定为展开的首项系数，因为一项是以与系
列中其他后继各项的关系而被称为首项，但是一个作为增长方慕这样的方幂
以及系列本身，却与此无关，假如宁愿要导出的方幂函数，或如以前说的量
的乘方函数这样单纯的名词，那么，它就已经被假定为已知的，“导数”就
以这种方式被认为是包括在一方幂之内的展开了。

假如税现在数学在这一部分解折中的真正开始，不过是求出由方幂展开
而规定的函数，那么，也还有一个问题，即从这里得到的比率该怎么办呢，
这个比率在哪里有应用和使用之处呢，求这些函数，到底是为了什么目的呢。
求出具体对象的比率，可以将它们归结到那些抽象的、解析的比率；微分计
算由此得到很大的兴趣。

关于能否应用问题，借助于指出过的方幂环节的形态，首先从事情本性
出发，还不要从应用事例去推论，也就自然产生如下的结果。方幂大小的展
开（其乘方的函数由此产生），抽掉了较细密的规定，首先便一般地包含着
将大小降低到最近的较低方幂。于是这种运算便可以应用到同样有着这种方
军区别的那些对象上去。假如我们现在考虑到空间规定性，那么，我们便发
现它含有三维，我们为了把这三维与长、宽、高等抽象的区别相区别，可以
称它们为具体的区别，即线、面和整体的空间；我们以最简单的形式，从自
身规定，也就是从解析因次的关系去看待它们时，便有了直线、平面、作为
平方的平面和立方。直线有一经验的定量，但是随着平面，便出现了质，即
方幂的规定；至于较细密的变形，例如随着平面的曲线也出现了质，我们可
以置之不理，因为这里所涉及的，首先只是一般的区别。这里也产生了从鼓
高的方幂规定到较低的过渡以及相反的过渡之需要，因为，例如直线规定便
应当从已知的平面等等方程式导出，或是相反。——此外还有运动；对它所
要观察的，就是它通过的空间及因此所用去的时间的大小比率；运动表现为
各种不同的规定，如简单的匀速、匀加速、匀加速和匀减速的交替、回到自
身等运动；由于各种运动，都是依照其空间、时间两环节的大小比率来表示
的，于是为了这些运动，便从不同的方幂规定，产生了方程式：在这种情况
下，可能需要从另一种运动或另一种空间大小来规定一种运动或与运动相连
的一种空间大小，于是也同样引起运算从一个方幂函数到一较高或较低的方
幂函救的过渡。——这两种对象的例子应当可以满足引用这些对象的目的
了。

微分计算在应用中所呈现的偶然外貌，会因为意识到应用所能有的范围
的本性和这种应用真正的需要与条件而大为简化。但现在的周题是须耍进一
步知道，在这些范围内，数学课题的对象的哪些部分之间有像微分计算特地
建立起来的那样的比率。必须立即提出来说，这里有二种比率须加注意。一
个方程式开方的运算，依其变最所导出函数来考察这一方程式时，所得的结
果，本身真的不再是一个方程式而是一个比率；这个比率是真正微分计算的
对象。正因此也就有了从较高方幂规定（原来的方程式）本身到较低方幂规
定（导出的方程式）的第二种比率。我们在这里先把第二种比率放在一边；
那在以后将是积分计算的特殊对象。

我们先来考察第一种比率，并且对于从所谓应用取得的环节的规定（这
是运算兴趣所在），举一个最简单的曲线例子，这些曲线是由一个二次方幂
的方程式所规定的。大家都知道座标线的比率是由一个有方幂规定的方程式
所直接给予的。基本规定的结果是与座标线有关联的其他直线，如切线、次
切线、垂直线等规定。但是这些线与座标线之间的方程式，却是直线方程式；
整体（这些直线被规定为某部分）就是直线的直角三角形。从包含方幂规　定
的基本方程武到那些直漆方程式的过渡，现在就包含着上述的从原始函数（即
是一个方程式）到导出的函数（即是一个比率，而且当然是被包含在曲线中
的某些直线之间的比率）的过渡。现在须要找出来的，就是这些直线的比率
和曲线方程式之同的关联。

最早的发现者只知道用完全经验的方式来陈述他们的发现，对于仍然是
完全外在的运算不能加以评价，在这里提到一些历史方面的事，并不是没有
兴趣的。我对此暂时满足于举牛顿的老师巴罗为例。他在《光学与几何学讲
义》中，按不可分的方法术处理高等几何的问题，这种方法首先与微分计算
的特点个饲，他也说明了他规定